Фрагмент непериодического замощения. Иллюстрация авторов исследования
Австралийские математики Джошуа Соколар и Джоан Тэйлор решили задачу одной плитки (einstein problem — не путать с Einstein’s problem).
Статья ученых еще не принята к публикации, однако ее препринт доступен на сайте arXiv.org.
Замощением плоскости называется представление ее в виде набора склеенных по границам фигур (называемых плитками). Один из простейших примеров — так называемое гексагональное замощение, когда плоскость, как соты, составлена из шестиугольников, соединенных по сторонам.
Замощение называется периодическим, если при сдвиге на некоторый вектор оно переходит в себя. В гексагональном случае это, например, вектор, соединяющий центры соседних шестиугольных ячеек.
В рамках новой работы ученые решали проблему построения непериодического замощения при помощи всего одной плитки (это и есть задача одной плитки).
Форма полученной ячейки, как и в предыдущем случае, шестиугольная, однако благодаря особой раскраске замощение получается непериодическим. Помимо двумерной задачи, исследователи предложили трехмерный аналог своего результата.
Помимо практических приложений (например, в кристаллографии) теория замощений является источником вдохновения для художников.
Например, нидерландский художник Мауриц Эшер создавал целые картины с использованием необычных замощений. В основе его «Восьми голов», в частности, лежит прямоугольное замощение.
M.C. Escher
Eight Heads, 1922
Cornelius Van S. Roosevelt Collection